N ≈ 250 Personen · Raucherentwöhnung
X₁ = Alter (Jahre)
X₂ = Zigaretten/Tag (vor Intervention)
Y = Rückfall nach 12 Monaten (0/1)
Seed: —
Was Sie sehen
Jede Person hat entweder Rückfall (Y=1, oben) oder keinen Rückfall (Y=0, unten) — die Punkte sind nur zur besseren Lesbarkeit vertikal „gejittert" (leicht verschoben), tatsächlich gibt es nur diese zwei Werte. Beide Kurven sind an denselben simulierten Daten geschätzt: die orangene Gerade ist ein gewöhnliches OLS-Modell (Linear Probability Model, LPM) — lm(Rückfall ~ Alter). Die blaue S-Kurve ist die logistische Regression — glm(Rückfall ~ Alter, family = binomial).
Das Problem des LPM
Eine Gerade kennt keine Grenzen. Schieben Sie den Regler zu einem hohen oder niedrigen Alter — die rot/orange schraffierte Zone markiert, wo das LPM eine Wahrscheinlichkeit außerhalb von [0,1] vorhersagt. Ein „P(Rückfall) = 1.14" oder „= −0.08" ist kein gültiger Wert für eine Wahrscheinlichkeit — das Modell ist an dieser Stelle schlicht falsch spezifiziert.
Die Lösung: S-Kurve
Die logistische Funktion ist so konstruiert, dass sie per Definition nie unter 0 oder über 1 liegen kann — sie nähert sich diesen Grenzen nur asymptotisch an, erreicht sie aber nie. Dadurch sind alle Vorhersagen automatisch plausible Wahrscheinlichkeiten, egal wie extrem der X-Wert ist.
Was tun
Klicken Sie ↻ Neue Daten für eine neue Zufallsstichprobe — die Grundaussage bleibt stabil: Das LPM verletzt seinen eigenen Wertebereich, sobald man sich von der Mitte der Daten entfernt. Die logistische Regression tut das nie. Weiter in Modul ②: Wie kommt die S-Form eigentlich zustande?
logit(Rückfall) = −0.672 + 0.518 · männlich
(weiblich = 0 kodiert, Referenz)
Was Sie sehen
Dieselben zwei Punkte A und B = A+Δ, gleichzeitig in drei Skalen desselben Modells logit(P) = −2.5 + 0.06·Zigaretten geplottet. Der Regler Punkt A verschiebt beide Punkte gemeinsam entlang der X-Achse, Schrittweite Δ ändert den Abstand zwischen ihnen.
Schieben Sie Punkt A hin und her, während Δ fest bleibt
Panel ① (Logit) und die Zahl „ΔLogit" ändern sich nie — die Gerade hat überall dieselbe Steigung b₁. Panel ② (Odds) und „OR" ändern sich ebenfalls nie — derselbe Schritt Δ im Prädiktor bedeutet immer denselben Faktor auf der Odds-Skala. Aber Panel ③ (Wahrscheinlichkeit) und „ΔP" ändern sich deutlich, je nachdem wo A gerade liegt.
Warum?
Logit-Differenzen sind additiv (b₁·Δ ist eine Konstante), Odds-Verhältnisse sind multiplikativ (e^(b₁·Δ) ist eine Konstante) — aber die Wahrscheinlichkeit ist eine gekrümmte Funktion des Logits. Derselbe additive/multiplikative Schritt landet mal auf dem steilen Mittelteil der S-Kurve (großes ΔP), mal auf einem flachen Rand (kleines ΔP).
Warum reicht eine Zahl nicht?
Ein einzelner OR oder Logit-Koeffizient beschreibt den Zusammenhang vollständig auf der Logit-Skala — aber niemand denkt in Logits. Sobald man auf die Wahrscheinlichkeitsskala zurückrechnet (wofür Menschen eine Intuition haben), ist der Effekt nicht mehr konstant. Nur eine Kurve — kein einzelner Koeffizient — zeigt, wo der Prädiktor viel und wo er wenig bewirkt. Das ist der Grund, warum in Modul ④ immer geplottet statt nur tabelliert wird.
dP/dX = b₁ · P·(1−P). Diese Kurve ist eine nach unten geöffnete Parabel in P: maximal bei P=0.5 (Wert 0.25), null bei P=0 oder P=1. Sie fasst zusammen, was die drei Panels oben bereits zeigen: derselbe Logit-Koeffizient b₁ hat den größten Effekt auf die Wahrscheinlichkeit in der Mitte der S-Kurve und fast keinen an ihren Rändern.
Software (z. B. R-Paket marginaleffects, Stata margins) berichtet meist entweder den Average Marginal Effect (Mittelwert von dP/dX über alle beobachteten X) oder den Marginal Effect at the Mean (dP/dX ausgewertet bei X̄) als Kompromisszahl für diese Kurve.
Ansicht „Geschlecht × Schicht"
Zwei kategoriale Prädiktoren + Interaktion sind als Koeffizienten-Tabelle kaum intuitiv zu lesen: sechs Zahlen (Intercept, 2 Haupteffekte, ggf. Interaktion) auf der Logit-Skala. Zurückgerechnet auf Wahrscheinlichkeiten ergeben sie sechs Balken mit 95%-Konfidenzintervall — auf einen Blick sichtbar, welche Gruppe das höchste Rückfallrisiko trägt und wo sich die Konfidenzintervalle überlappen (kein sicherer Unterschied).
Ansicht „Schicht × Zigaretten"
Ein kategorialer und ein metrischer Prädiktor gemeinsam: drei S-Kurven (eine je Schicht) über den Zigarettenkonsum, mit Konfidenzband. So sieht man gleichzeitig den Effekt des metrischen Prädiktors (Kurvenform, Modul ③) und den Versatz durch die kategoriale Variable (Abstand zwischen den Kurven) — beides gemeinsam wäre aus einer Koeffiziententabelle allein nicht ablesbar.
Regler: Effekte selbst verändern
Links lassen sich b₀, die Haupteffekte und eine Interaktion auf der Logit-Skala frei einstellen. Erhöhen Sie z. B. „Interaktion m×niedrig": der Geschlechtsunterschied wird in der Schicht „niedrig" größer oder kleiner als in den anderen Schichten — die Balken laufen sichtbar auseinander statt parallel zu bleiben. In der zweiten Ansicht dreht „Interaktion Zig.×niedrig" die Steigung einer einzelnen S-Kurve gegenüber den anderen beiden. ↺ Vorlesungswerte setzt die Originalwerte aus der Vorlesung zurück.
Woher kommen die Konfidenzintervalle?
Nicht frei erfunden: Für die aktuell eingestellten Effekte wird ein synthetischer, aber realistischer Datensatz simuliert und live per Newton-Raphson (IRLS) neu an dieses Modul gefittet — derselbe Algorithmus, den auch R's glm() verwendet. Die CIs sind echte Wald-Konfidenzintervalle aus der Kovarianzmatrix dieses Fits, keine Illustration. Der Info-Kasten links zeigt beides: die eingestellten Effekte und was ein Fit an den simulierten Daten (mit echtem Sampling-Rauschen) davon zurückgewinnt.
Bezug zum GLM-Rahmen
Die logistische Regression ist ein Spezialfall des Generalisierten Linearen Modells: gleiche Prädiktorstruktur (Haupteffekte, Interaktionen, Dummy-Codierung) wie in OLS & Multiple Regression oder ANOVA — nur mit Logit-Link statt Identitäts-Link und Binomial- statt Normalverteilung. Für die Gütebeurteilung der Klassifikation (Cutoff, Sensitivität/Spezifität, ROC/AUC) siehe das eigenständige Tool Sensitivität & Spezifität. Für logistische Regression als Werkzeug zur Konfundierungskontrolle siehe Propensity Score Matching.
Odds = P/(1−P) lockert die Obergrenze, Logit = ln(Odds)
entfernt auch die Untergrenze — erst der Logit ist unbeschränkt (−∞, +∞) und
damit als lineare Zielgröße geeignet: logit(P) = b₀ + b₁·X.
OR = eb₁ — Differenzen von Log-Odds exponieren sich zu
Verhältnissen, nicht zu Differenzen. OR = 1.68 heißt: 68% höhere Chance,
nicht 68 Prozentpunkte höhere Wahrscheinlichkeit. Diese Verwechslung ist
der häufigste Interpretationsfehler bei logistischer Regression.
dP/dX = b₁ · P·(1−P) — derselbe Logit-Koeffizient b₁ bewirkt je nach
aktuellem P einen unterschiedlich großen Effekt auf die Wahrscheinlichkeit: maximal
bei P = 0.5, minimal an den Rändern (P nahe 0 oder 1).
Wenn die abhängige Variable Y binär ist (0/1, z. B. Rückfall ja/nein), verletzt eine gewöhnliche OLS-Regression (Linear Probability Model) systematisch ihren eigenen Wertebereich: sie sagt Wahrscheinlichkeiten unter 0 oder über 1 vorher. Die logistische Regression modelliert stattdessen den Logit von P(Y=1) linear:
logit(P) = ln( P / (1−P) ) = b₀ + b₁·X₁ + … + bₖ·Xₖ
Rücktransformiert ergibt das eine S-förmige Funktion, die für jeden X-Wert eine gültige Wahrscheinlichkeit liefert:
P(Y=1) = 1 / (1 + e−(b₀+b₁·X))
glm().
b₁ (Logit-Skala): „Pro +1 Einheit X steigt der Logit von P(Y=1) um b₁" — korrekt, aber praktisch unanschaulich, da niemand in Logits denkt.
OR = eb₁ (Odds Ratio): „Pro +1 Einheit X multipliziert sich die Chance (Odds) auf Y=1 mit dem Faktor OR." Multiplikativ, nicht additiv — ein OR von 2 heißt „doppelt so hohe Chance", nicht „50 Prozentpunkte mehr".
Vorhergesagte Wahrscheinlichkeit: Die einzige Größe, die sich Menschen intuitiv vorstellen können. Sie ist aber nichtlinear in X — deshalb Modul ③ dieses Tools.
Die Ableitung von P nach X ist dP/dX = b₁ · P·(1−P). Der Term
P·(1−P) ist eine nach unten geöffnete Parabel mit Maximum bei P=0.5 (Wert 0.25) und
Nullstellen bei P=0 und P=1. Derselbe Logit-Koeffizient hat also nahe der Extreme
kaum Effekt auf die Wahrscheinlichkeit, in der Mitte dagegen den größten. Software
berichtet meist den Average Marginal Effect (AME) als Kompromisszahl.
Hosmer, D. W., Lemeshow, S. & Sturdivant, R. X. (2013). Applied Logistic Regression (3rd ed.). Wiley.