Sensitivität & Spezifität — Diagnostische Kennwerte

Dr. R. Düsing · Universität Osnabrück
Kein Test trennt Kranke und Gesunde perfekt — der Cut-off legt fest, welche Fehler man lieber in Kauf nimmt.
Durchgehendes Beispiel
TGoldstandard: ADHS-Diagnose nach klinischem Interview (DSM-5) XTest: Testwert eines Eltern-Screeninginstruments cCut-Off: Testwert-Schwelle für die Screeningentscheidung ADHS+Merkmalsträger: leicht erhöhte Testwerte ADHS−Nicht-Merkmalsträger: unauffällige Testwerte
Ab welchem Testwert sollte ein Screening positiv ausfallen — und wie viele Kinder gehen dadurch verloren (FN) vs. wie viele werden unnötig weiterverwiesen (FP)? Verteilungsüberlappung, Prävalenz und Fehlerkosten bestimmen den optimalen Cut-Off.
① Verteilungsplot
② Vierfeldertafel & Kennwerte
Test +Test −Σ
Krit. ADHS+ TPrichtig positiv— FNfalsch negativ— —
Krit. ADHS− FPfalsch positiv— TNrichtig negativ— —
Σ — — —
KennwertFormelBerechnungWert
③ ROC-Analyse
Optimaler Cut-Off
Konzepte
Sensitivität vs. Spezifität — der Trade-off
Sensitivität (SE) = TP / (TP + FN) — Anteil der Kranken, der korrekt als positiv erkannt wird (wenige verpasste Fälle, FN). Spezifität (SP) = TN / (TN + FP) — Anteil der Gesunden, der korrekt ausgeschlossen wird (wenige Fehlalarme, FP). Bei überlappenden Verteilungen ist beides zugleich nicht maximierbar: ein niedrigerer Cut-Off hebt SE und senkt SP — und umgekehrt. Welche Seite wichtiger ist, entscheiden die klinischen Konsequenzen.
ROC-Kurve & AUC
Die ROC-Kurve trägt Sensitivität gegen 1−Spezifität für alle Cut-Offs auf. Ein perfekter Test läuft durch die linke obere Ecke (0,1), reines Raten entspricht der Diagonalen. Die AUC fasst die Trennschärfe cut-off-unabhängig in einer Zahl zusammen (0.5 = Zufall, 1.0 = perfekt). Je weiter die Verteilungen auseinanderliegen und je schmaler sie sind, desto höher die AUC.
Prädiktive Werte & Prävalenz
PPV = TP / (TP + FP) und NPV = TN / (TN + FN) beantworten die Frage für die konkrete Person: Wie verlässlich ist ein positiver bzw. negativer Befund? Sie hängen — anders als SE und SP — stark von der Prävalenz ab: Bei seltener Störung wird der PPV selbst bei gutem Test niedrig, weil unter vielen Gesunden schon wenige Prozent Fehlalarme (FP) die wenigen echten Fälle überwiegen. Prävalenzform: PPV = (SE·Präv) / (SE·Präv + (1−SP)·(1−Präv)).
Likelihood Ratios
LR+ = SE/(1−SP) und LR− = SP/(1−SE) sind prävalenzunabhängige Maße der Trennschärfe. Sie sind hier bewusst so definiert, dass bei beiden je höher, desto besser gilt: LR+ stützt die Diagnose bei positivem, LR− schließt sie aus bei negativem Befund. Die in vielen Quellen übliche Variante LR− = (1−SE)/SP ist der Kehrwert — nötig zur Umrechnung in Odds (Post-Odds = Prä-Odds · LR), aber interpretativ weniger eingängig (dort gilt „je kleiner, desto besser"). Achte deshalb immer auf die verwendete Definition.
Den Cut-Off wählen
Es gibt nicht den richtigen Cut-Off — er folgt aus dem Ziel: Youden-Index (max SE+SP−1, gleichgewichtet), Kosten-Nutzen (eine Fehlerart teurer → Cut-Off verschieben), Missklassifikationskosten (prävalenzgewichteter Gesamtfehler) oder prädiktiv (max PPV/NPV). Probier die Methoden im ROC-Panel durch und übernimm den Cut-Off.
Eigenschaft vs. Nutzen
SE und SP sind Eigenschaften des Tests — prävalenzunabhängig und auf andere Populationen übertragbar. PPV/NPV sind dagegen situationsabhängig. In Selektionssituationen heißt der PPV Erfolgsquote — dieselbe Größe, anderes Anwendungsfeld. → Diagnostische Validität · → Taylor-Russell-Tafeln
Sensitivität & Spezifität — Hilfe
Beispiel

Ein Eltern-Screening-Instrument soll ADHS-betroffene Kinder von unauffälligen Kindern unterscheiden. Wir wollen den Test erst prüfen — die Lage und Streuung der Verteilungen sind zunächst unbekannt und werden über die Schieberegler exploriert. Ein klinisches Interview nach DSM-5 dient als Goldstandard. Gesucht: der optimale Cut-Off c für die Testentscheidung.

Die Verteilungen überlappen sich — kein Cut-Off ist fehlerfrei. Bei c=105: Kinder mit einem Testwert ≥ 105 werden als positiv gescreent (T=1), alle anderen als negativ (T=0).

Sensitivität & Spezifität

Sensitivität (SE) = Anteil der tatsächlich ADHS+ Kinder, die korrekt als positiv erkannt werden (TP-Rate). Hohe SE → wenige verpasste Diagnosen (FN). Senkung des Cut-Offs erhöht SE, senkt Spezifität.

SE = TP / (TP + FN)

Spezifität (SP) = Anteil der tatsächlich ADHS− Kinder, die korrekt ausgeschlossen werden (TN-Rate). Hohe SP → wenige Fehlalarme (FP). Erhöhung des Cut-Offs steigert SP, senkt Sensitivität.

SP = TN / (TN + FP)

Im Beispiel: Bei überlappenden Verteilungen ist eine perfekte Trennung unmöglich — der Trade-off ist unvermeidlich und hängt von klinischen Prioritäten ab.

Prädiktive Werte & Prävalenz

PPV (positiver prädiktiver Wert) = P(ADHS+ | Test+): Wie wahrscheinlich ist die Diagnose bei positivem Test? Stark prävalenzabhängig: bei seltener ADHS (Prävalenz 5%) sinkt PPV stark — viele FP unter wenigen echten Positiven.

PPV = TP / (TP + FP) = (SE · Präv) / (SE · Präv + (1−SP) · (1−Präv))

NPV = P(ADHS− | Test−): Wie sicher ist ein negativer Befund? Im Beispiel: bei hoher Sensitivität und moderater ADHS-Prävalenz ist ein negatives Ergebnis sehr verlässlich.

Likelihood Ratios: LR+ = SE/(1−SP) — wie viel wahrscheinlicher ist ein positives Ergebnis bei ADHS+ als bei ADHS−? LR− = SP/(1−SE) — wie viel wahrscheinlicher ist ein negatives Ergebnis bei ADHS− als bei ADHS+? (Hier bewusst so herum, damit wie bei LR+ „je höher, desto besser" gilt; die Standardvariante (1−SE)/SP ist der Kehrwert.) LR sind prävalenzunabhängig.

ROC-Kurve & AUC

Die ROC-Kurve zeigt Sensitivität gegen 1−Spezifität für alle möglichen Cut-Offs. Ein perfekter Test verläuft durch den Punkt (0,1): SE=1, 1−SP=0. Eine diagonale Kurve entspricht Raten.

Die AUC (Area Under the Curve) fasst die Gesamttrennschärfe in einer Zahl zusammen (0.5=Zufall, 1.0=perfekt). AUC ist unabhängig vom gewählten Cut-Off — je weiter die Verteilungen auseinanderliegen und je schmaler sie sind, desto höher die AUC.

Optimale Cut-Off-Methoden

Youden-Index (Youden, 1950): Maximiert SE + SP − 1. Standardwahl ohne spezifische Annahmen, behandelt FP und FN gleichwertig, kein Prävalenzeinfluss. Bei normalverteilten Gruppen liegt der optimale Cut-Off in der Mitte zwischen den Verteilungsmittelpunkten — variierbar über die Schieberegler.

Kosten-Nutzen: Sinnvoll wenn eine Fehlerart klar teurer ist. Im Screening-Beispiel: Eine verpasste ADHS-Diagnose (FN) kann langfristig kostspielig sein — niedrigerer Cut-Off, höhere SE bevorzugt. Der Faktor c = Kosten(FP)/Kosten(FN) steuert direkt: c<1 → FN teurer → cut-off sinkt.

Missklassifikationskosten: Bezieht die Prävalenz ein — populationsgewichteter Gesamtfehler. Bei seltener ADHS (5%) fallen FP-Fehler häufiger an; das Modell schiebt den Cut-Off nach oben (mehr SP).

Prävalenz-adjustiert (PPV/NPV): Wenn Kommunizierbarkeit entscheidend ist. PPV maximieren: bei invasiver Folgeuntersuchung soll ein positiver Befund verlässlich sein. NPV maximieren: bei ernsthafter Erkrankung soll ein negatives Ergebnis sicher ausschließen.

Literatur

Youden, W. J. (1950). Index for rating diagnostic tests. Cancer, 3(1), 32–35.