Strukturgleichungsmodell — SEM

Dr. R. Düsing · Universität Osnabrück
📋 Vom Messmodell zum Strukturmodell
Die CFA hat geprüft, ob die Item-Struktur (X = V1–V4 verbal, Y = S1–S4 räumlich) zu den Daten passt. Ein Strukturgleichungsmodell (SEM) geht einen Schritt weiter: es setzt einen gerichteten Regressionspfad zwischen die latenten Faktoren — statt nur ihre Korrelation zu schätzen, schätzt es, wie stark X sich auf Y auswirkt, nachdem beide um Messfehler bereinigt sind.
← Konfirmatorische Faktoranalyse (CFA) Mediation mit manifesten Variablen → OLS-Regression →
✓ Der Vorteil gegenüber manifesten Variablen
Würdest du stattdessen einfach die Summenscores der Items bilden (klassischer Test-Score-Ansatz) und diese direkt regredieren, wäre der geschätzte Zusammenhang durch Messfehler attenuiert — unreliable Items ziehen jede Korrelation Richtung 0 (siehe Messfehler & Attenuierung). SEM modelliert die latenten Faktoren direkt aus den Items und rechnet Messfehler explizit heraus — der geschätzte Strukturpfad zielt auf die wahre, unattenuierte Beziehung. Die Vergleichskarte weiter unten zeigt genau diese Lücke live.
① Pfaddiagramm — spezifiziertes Modell
Bei nur 2 Konstrukten ist die Pfeilrichtung nicht empirisch prüfbar. X→Y ergibt exakt dieselbe implizierte Kovarianzmatrix (und denselben Fit) wie Y→X oder eine bloße Korrelation (CFA) — mit einem einzigen freien Pfad zwischen zwei Faktoren gibt es keinen Freiheitsgrad, der die Richtung testen könnte. Die Pfeilrichtung ist hier eine inhaltliche Annahme, keine Schlussfolgerung aus diesen Daten. Erst ab 3 Konstrukten (Mediationsmodell rechts) wird das Strukturmodell empirisch informativ.
② Latent (SEM) vs. manifest (Summenscore)
③ Fit-Indices
χ² (df)
—
N = 300
CFI
—
≥ .95 gut
TLI
—
≥ .95 gut
RMSEA
—
≤ .06 gut
SRMR
—
≤ .08 gut
—
④ lavaan-Syntax (R) — passend zum spezifizierten Modell
Cutoffs nach Hu & Bentler (1999), mit Vorbehalt (siehe Hilfe). Dieses Tool schätzt selbst per Maximum-Likelihood auf der (bekannten) populationsimplizierten Kovarianzmatrix — lavaan würde dieselbe Struktur auf echten Daten schätzen und zusätzlich Standardfehler/p-Werte liefern.
Lernkarten
① CFA vs. SEM
Die CFA schätzt nur das Messmodell plus eine ungerichtete Faktorkorrelation Φ. Ein SEM ersetzt Φ (teilweise) durch gerichtete Strukturgleichungen zwischen den Faktoren — dasselbe Messmodell, aber jetzt mit Regressionspfaden statt (nur) Korrelationen dazwischen.
② =~ misst, ~~ korreliert, ~ regressiert
Drei lavaan-Operatoren, drei Modellteile: =~ definiert das Messmodell (Faktor → Items), ~~ eine Kovarianz/Korrelation (ungerichtet, wie in der CFA), ~ eine Regression (gerichtet — der eigentliche „Struktur"-Teil von SEM). Ein SEM nutzt typischerweise alle drei; cfa() und sem() in lavaan sind fast identisch, sem() ist nur der übliche Aufruf, sobald ~-Zeilen vorkommen.
③ Warum Messfehler-Korrektur wichtig ist
Ein Summenscore ist nur eine Annäherung an den latenten Faktor — seine Reliabilität (ω) ist fast nie 1. Jede Regression auf solchen Scores attenuiert den wahren Zusammenhang um den Faktor √(ωX·ωY). SEM umgeht das, indem es den Faktor direkt aus den Einzelitems modelliert — der Strukturpfad zielt auf die Beziehung zwischen den Konstrukten, nicht zwischen ihren fehlerbehafteten Indikatoren.
④ Indirekte Effekte sind besonders anfällig
Bei Mediation multipliziert sich die Attenuierung: der manifeste indirekte Effekt â·b̂ ist ungefähr um ωX·ωM·ωM·ωY gedämpft (Messfehler in X und M wirken doppelt). Bei realistischen Reliabilitäten kann das den geschätzten indirekten Effekt drastisch unterschätzen — ein Hauptargument für latente statt manifeste Mediationsanalyse.
⑤ Volle vs. partielle Mediation — echt testbar
Anders als der einfache X→Y-Pfad (Lernkarte „nicht empirisch prüfbar" oben) ist die Frage „läuft der Effekt vollständig über M?" ab 3 Konstrukten eine echte Modellrestriktion (c'=0) mit eigenem Freiheitsgrad. Passt der Fit bei c'=0 schlechter, spricht das für einen zusätzlichen direkten Pfad — partielle Mediation.
⑥ Was dieses Tool nicht zeigt
Keine echte Stichprobenziehung, keine Standardfehler/Signifikanztests der Pfade, keine Moderation oder nichtrekursive (rückgekoppelte) Modelle. Für die manifeste Mediation mit echten Signifikanztests (Sobel, Bootstrap) siehe Mediationsanalyse.
Strukturgleichungsmodell — Hintergrund
Was dieses Tool zeigt — und was nicht

Zeigt: ein 2- oder 3-Konstrukt-SEM (CFA-Messmodell + gerichtete Strukturpfade) mit echter Maximum-Likelihood-Anpassung, plus einen direkten, geschlossen berechneten Vergleich zum naiven Summenscore-Ansatz. Nicht hier: echte Stichprobenziehung/Standardfehler der Pfade, freie Item-Faktor-Zuordnung, Moderation, nichtrekursive Modelle, Mehrgruppen-SEM.

Strukturmodell als Kovarianz-Reparametrisierung

Bei standardisierten Faktoren (Var=1) ist ein einzelner Pfad Y~β·X rechnerisch identisch mit Φ=[[1,β],[β,1]] aus der CFA — nur die Interpretation (gerichtet vs. ungerichtet) ändert sich. Bei Mediation ergibt Pfadverfolgung (Wright'sche Regeln) die 3×3-Struktur Φ=[[1,a,ab+c'],[a,1,b+ac'],[ab+c',b+ac',1]] — geschlossen hergeleitet und gegen eine unabhängige Monte-Carlo-Simulation (200.000 Fälle) auf zwei Nachkommastellen bestätigt, bevor dieses Tool gebaut wurde.

Manifester Vergleich — Summenscore-Kovarianz
Cov(Summenscores) = G · Σ · G' (G = Gruppierungsmatrix, 1 pro Item→Konstrukt) r_manifest = Cov(sumX,sumY) / √(Var(sumX)·Var(sumY)) ≈ β · √(ω_X · ω_Y) (Attenuierungsformel, exakt reproduziert)

Kein neuer Mechanismus: dieselbe Aggregation, die die Summenscore-Kovarianzmatrix liefert, wird für die latente Modell-Kovarianzmatrix ebenfalls verwendet — nur eben vor statt nach der Aggregation gefittet. Bei Mediation wird der manifeste indirekte Effekt als partielle Standardregression (Y auf M und X, beide standardisiert) aus derselben aggregierten Korrelationsmatrix bestimmt.

Fit-Indices

Dieselben Formeln und Cutoff-Vorbehalte wie im CFA-Tool (χ², CFI, TLI, RMSEA, SRMR — dort im Detail mit Formeln und Interpretation erklärt: → CFA-Hilfe öffnen). Die Strukturgleichungen ändern nur, welche Kovarianzen als „erklärt" gelten — nicht, wie der Gesamtfit berechnet wird. Ein SEM mit Strukturpfaden hat exakt dieselbe Fit-Statistik wie die zugrundeliegende CFA mit derselben Zahl freier Parameter.

Vorteile von SEM gegenüber Einzel-Analysen

Alle Pfade gleichzeitig testen. Ein klassischer Mediations-Dreischritt (Baron & Kenny, 1986) schätzt a, b und c' in separaten Regressionen nacheinander — jede mit eigenem Messfehler, ohne Gesamt-Fit-Test. SEM schätzt alle Parameter des gesamten Modells in einem einzigen Schritt (Full-Information-ML), inklusive aller Kovarianzen zwischen den Messfehlern der einzelnen Gleichungen — statistisch effizienter und mit einem einzigen Fit-Test für die ganze Theorie, nicht nur für einzelne Pfade.

Beliebig komplexe Modelle. Dieses Tool zeigt maximal 3 Konstrukte, aber das Prinzip skaliert: mehrere Prädiktoren, mehrere parallele oder serielle Mediatoren, mehrere Outcomes, übergeordnete (Faktor-2.-Ordnung-)Konstrukte — alles in einem Modell, mit einem gemeinsamen Fit.

Formaler Modellvergleich. „Volle vs. partielle Mediation" (dieses Tool) ist ein Spezialfall eines allgemeinen Prinzips: verschachtelte Modelle (ein Modell entsteht durch Fixieren von Parametern des anderen) lassen sich per χ²-Differenztest oder Informationskriterien (AIC, BIC) formal vergleichen — eine explizite statistische Entscheidung zwischen konkurrierenden Theorien, nicht nur „schaut man sich die Koeffizienten an".

Explizite, falsifizierbare Theorie. Jede Fixierung (Ladung = 0, Pfad = 0, Kovarianz = 0) ist eine öffentlich sichtbare, testbare Annahme — das Modell zwingt zur Präzisierung dessen, was die Theorie eigentlich behauptet, statt es implizit zu lassen.

Weiter ausbaubar. Dieselbe Logik erweitert sich auf Mehrgruppen-Vergleiche (→ Messinvarianz), auf mehrere Methoden pro Trait gleichzeitig (→ MTMM), Wachstumsmodelle (Veränderung über Zeit) und kategoriale/ordinale Indikatoren — hier nicht gezeigt, aber derselbe Rahmen.

Nachteile & Grenzen

Guter Fit beweist nicht die richtige Kausalstruktur. Dieses Tool zeigt es selbst: Bei 2 Konstrukten ist X→Y ununterscheidbar von Y→X oder einer bloßen Korrelation. Auch bei mehr Konstrukten gilt: gleich guter Fit ist oft mit mehreren, teils gegensätzlichen Kausalstrukturen vereinbar (äquivalente Modelle) — Fit allein entscheidet nie zwischen ihnen, nur Theorie und Studiendesign (Randomisierung, Zeitreihen) können das.

Größere Stichproben nötig. Mehr freie Parameter brauchen mehr Fälle für stabile Schätzungen — Faustregeln reichen von n ≈ 10–20 pro freiem Parameter, bei komplexeren Modellen schnell einige Hundert Fälle.

Verteilungsannahmen. Die Standard-ML-Schätzung setzt multivariate Normalverteilung voraus; bei starker Verletzung (z. B. kategoriale Items, Ausreißer) werden Standardfehler und χ² verzerrt — robuste Schätzer oder WLS-Verfahren sind dann nötig, hier nicht gezeigt.

Spezifikationssuche als Falle. Reale Software zeigt Modifikationsindizes, die anzeigen, welche zusätzliche Fixierung den Fit am meisten verbessern würde. Das post-hoc, datengetrieben zu nutzen (statt vorab theoretisch zu begründen), erhöht die Fehlerquote drastisch — dieselbe Logik wie bei Data Dredging.

Nur so gut wie das Messmodell. Eine falsche Fixierung im Messmodell (siehe CFA-Tool) verzerrt die strukturellen Schätzungen mit — und ist am Gesamtfit oft nicht leicht vom eigentlich interessierenden Strukturproblem zu unterscheiden.

Literatur

Tomarken, A. J. & Waller, N. G. (2005). Structural equation modeling: Strengths, limitations, and misconceptions. Annual Review of Clinical Psychology, 1, 31–65.
Kline, R. B. (2023). Principles and Practice of Structural Equation Modeling (5th ed.). Guilford.
Baron, R. M. & Kenny, D. A. (1986). The moderator-mediator variable distinction. Journal of Personality and Social Psychology, 51, 1173–1182.
Cole, D. A. & Preacher, K. J. (2014). Manifest variable path analysis: potentially serious and misleading consequences due to unreliability. Psychological Methods, 19(2), 300–315.
MacCallum, R. C. & Austin, J. T. (2000). Applications of structural equation modeling in psychological research. Annual Review of Psychology, 51, 201–226.
Rosseel, Y. (2012). lavaan: An R Package for Structural Equation Modeling. Journal of Statistical Software, 48(2).
Hoyle, R. H. (Hrsg.) (2023). Handbook of Structural Equation Modeling (2. Aufl.). Guilford Press.