Konfirmatorische Faktoranalyse — CFA

Dr. R. Düsing · Universität Osnabrück
📋 Von der explorativen zur konfirmatorischen Faktoranalyse
Die Faktoranalyse (EFA) hat die Struktur des 8-Item-Kognitionstests (V1–V4 verbal, S1–S4 räumlich) gesucht. Bei der konfirmatorischen Faktoranalyse (CFA) ist es umgekehrt: Die Theorie legt vorher fest, welches Item auf welchen Faktor lädt — man testet, ob diese Struktur zu den Daten passt. Hier stellst du links die wahre Population ein und rechts, was das spezifizierte Modell annimmt — und siehst, wie stark die typischen Fit-Indices reagieren, wenn beides auseinanderfällt.
← Faktoranalyse (EFA): woher kommt die Struktur? ← Messmodelle: 1-Faktor-Modellklassen Dasselbe Modell über Gruppen vergleichen? → Messinvarianz
① Vorgehen
①Modell spezifizieren. Item→Faktor-Zuordnung steht fest (V-Gruppe→F1, S-Gruppe→F2). Du entscheidest nur: dürfen F1/F2 korrelieren, und ist S1s Kreuzladung im Modell bekannt? → Pfaddiagramm ansehen
②An die Population anpassen. Das Tool schätzt die freien Parameter des spezifizierten Modells so, dass die implizierte Kovarianzmatrix der wahren so nah wie möglich kommt (Maximum-Likelihood) — echte Schätzung, kein Analogie-Trick.
③Fit prüfen. χ², CFI, TLI, RMSEA, SRMR zeigen, wie gut die Anpassung gelungen ist. → Fit-Indices ansehen
④Fehlspezifikation erkennen. Schalte „Orthogonal" oder „Ignorieren" ein, obwohl die Population etwas anderes vorgibt — beobachte, wie der Fit einbricht.
② Pfaddiagramm — spezifiziertes Modell
③ Fit-Indices
χ² (df)
—
N = 300
CFI
—
≥ .95 gut
TLI
—
≥ .95 gut
RMSEA
—
≤ .06 gut
SRMR
—
≤ .08 gut
—
④ lavaan-Syntax (R) — passend zum spezifizierten Modell
Cutoffs nach Hu & Bentler (1999). Dieses Tool schätzt selbst per Maximum-Likelihood auf der (bekannten) populationsimplizierten Kovarianzmatrix — lavaan würde dieselbe Struktur auf echten Daten schätzen und zusätzlich Standardfehler/p-Werte für jeden Parameter liefern (hier nicht simuliert, siehe Hilfe).
Lernkarten
① EFA vs. CFA
In der EFA bestimmen die Daten, welches Item auf welchen Faktor lädt (alle Ladungen frei, dann interpretiert man das Muster). In der CFA legt die Theorie die Struktur vorher fest — die meisten Ladungen sind auf 0 fixiert (Simple Structure), nur wenige sind frei. Der Fit testet, ob diese Restriktion mit den Daten verträglich ist.
② Warum Fehlspezifikation den Fit verschlechtert
Jede Fixierung (z. B. „Kreuzladung = 0" oder „Φ = 0") ist eine Annahme. Stimmt sie, kostet sie nichts — das Modell trifft die wahre Kovarianzmatrix trotzdem exakt. Stimmt sie nicht, kann das Modell die betroffenen Kovarianzen nicht mehr reproduzieren; der Rest-Unterschied (Residuum) treibt χ² nach oben und CFI/TLI nach unten.
③ Freiheitsgrade hier
df = mögliche eindeutige Kovarianzen/Varianzen (8·9/2 = 36) minus geschätzte freie Parameter (8 Ladungen + 8 Fehlervarianzen + ggf. 1 Kreuzladung + ggf. 1 Faktorkorrelation). Jede zusätzliche Fixierung (Orthogonal, Kreuzladung ignorieren) erhöht df um 1 — das Modell wird sparsamer, aber riskiert Misfit.
④ TLI über 1.00?
Anders als CFI ist TLI nicht auf 1 gedeckelt — bei einem sehr sparsamen, gut passenden Modell (viele df, kaum Misfit) kann TLI leicht über 1 liegen. Das ist kein Fehler, sondern eine bekannte Eigenschaft der Formel; lavaan zeigt denselben Effekt.
⑤ Was dieses Tool nicht zeigt
Keine echte Stichprobenziehung, keine Standardfehler/p-Werte der Ladungen, keine Modifikationsindizes (welche einzelne Fixierung lockern?). N = 300 dient nur dazu, den populationsimplizierten Diskrepanzwert in ein realistisches χ² umzurechnen — es wird nicht wirklich simuliert.
⑥ Und weiter?
Das nächste Tool in dieser Reihe erweitert die CFA um strukturelle Pfade zwischen den Faktoren (Regression zwischen latenten Variablen statt nur zwischen Faktor und Items) — ein Strukturgleichungsmodell (SEM), mit denselben Brücken zu Regression und Mediation, nur mit latenten statt beobachteten Variablen.
→ Strukturgleichungsmodell (SEM)
Konfirmatorische Faktoranalyse — Hintergrund
Was dieses Tool zeigt — und was nicht

Zeigt: ein 2-Faktor-CFA-Modell mit fest vorgegebener Item-Faktor-Zuordnung, zwei Fehlspezifikations-Schalter (Faktorkorrelation, eine Kreuzladung) und die daraus resultierenden Fit-Indices — per echter Maximum-Likelihood-Anpassung an die (bekannte) populationsimplizierte Kovarianzmatrix, keine Analogie-Formel. Nicht hier: echte Stichprobenziehung/Standardfehler, freie Item-Faktor-Zuordnung, Modifikationsindizes, Mehrgruppen-CFA (→ Messinvarianz).

Maximum-Likelihood-Diskrepanz
F_ML(Σ, Σ(θ)) = log|Σ(θ)| + tr(Σ(θ)⁻¹Σ) − log|Σ| − p χ² = (N−1) · F_ML,min (N = 300, p = 8 Items)

Σ ist die wahre (populationsimplizierte) Kovarianzmatrix, Σ(θ) die des spezifizierten Modells mit den aktuell besten Parametern θ. Das Tool minimiert F_ML numerisch über alle freien Parameter (Koordinatenabstieg) — bei korrekt spezifiziertem Modell landet dieses Minimum bei praktisch exakt 0.

Fit-Indices — im Einzelnen

Index „M" = spezifiziertes Modell, „B" = Baseline-/Unabhängigkeitsmodell (alle Kovarianzen auf 0 fixiert — der denkbar schlechteste sinnvolle Vergleichspunkt). CFI und TLI setzen den Fit relativ zu diesem Nullpunkt; RMSEA und SRMR sind absolute Misfit-Maße, die ohne Vergleichsmodell auskommen.

CFI Comparative Fit Index · 0–1, höher = besser
CFI = 1 − max(0, χ²_M−df_M) / max(χ²_B−df_B, χ²_M−df_M)
Wie viel besser ist das Modell als die Annahme „keinerlei Zusammenhänge zwischen den Items"? Relativ zum Baseline-Modell, dadurch auf [0,1] begrenzt und vergleichsweise robust bei kleinen Stichproben.
TLI Tucker-Lewis-Index · meist 0–1, kann >1 sein
TLI = [(χ²_B/df_B) − (χ²_M/df_M)] / [(χ²_B/df_B) − 1]
Wie CFI relativ zum Baseline-Modell, aber zusätzlich parsimonie-korrigiert — ein Modell mit vielen df (wenig geschätzten Parametern) wird bei gutem Fit begünstigt. Deshalb nicht auf 1 gedeckelt (siehe Lernkarte „TLI über 1.00?").
RMSEA Root Mean Square Error of Approximation · 0–1, niedriger = besser
RMSEA = √( max(0, (χ²_M−df_M) / (df_M·(N−1))) )
Misfit pro Freiheitsgrad, unabhängig von einem Vergleichsmodell. Bestraft unnötig komplexe Modelle (wenig df); übliche Praxis berichtet zusätzlich ein 90%-Konfidenzintervall (hier nicht berechnet, da keine echte Stichprobenziehung stattfindet).
SRMR Standardized Root Mean Square Residual · 0–1, niedriger = besser
SRMR = Wurzel des mittleren quadrierten standardisierten Residuums
Direktestes Maß: wie weit liegen Modell- und wahre Korrelationsmatrix im Schnitt auseinander? Behandelt jedes Residuum gleich gewichtet — ein einzelnes stark fehlspezifiziertes Item (wie hier S1) kann daher untergehen, wenn die übrigen 27 Zellen perfekt passen.
Cutoffs sind eine Heuristik, keine Naturkonstante. Die verbreiteten Schwellen CFI/TLI ≥ .95, RMSEA ≤ .06, SRMR ≤ .08 stammen von Hu & Bentler (1999) und werden am häufigsten zitiert — aber sie wurden aus einer begrenzten Zahl simulierter Modelltypen abgeleitet und sind nicht universell gültig. Wie stark ein Cutoff angemessen ist, hängt von Faktorenzahl, Itemzahl, Stichprobengröße und Art der Fehlspezifikation ab. Hu & Bentler selbst wiesen bereits darauf hin, dass modellspezifische Simulationen genauer sind als fixe Grenzwerte; neuere Arbeiten (z. B. McNeish & Wolf, 2023, „Dynamic Fit Index") führen das konsequent fort: Für die eigene Modellstruktur wird per Simulation ermittelt, welche Fit-Werte bei welchem Grad an Fehlspezifikation zu erwarten sind — statt sich auf die generischen .95/.06/.08-Werte zu verlassen, die für ein völlig anderes Modell kalibriert wurden.
Die zwei Fehlspezifikations-Schalter

Orthogonal erzwungen: Das Modell fixiert Φ = 0, obwohl die Faktoren in Wahrheit korrelieren (φ-Regler). Die dadurch erzwungenen Null-Kovarianzen zwischen der V- und S-Gruppe können nicht reproduziert werden — der Fit verschlechtert sich systematisch mit wachsendem wahren φ.

Kreuzladung ignoriert: Das Modell fixiert S1s Ladung auf F1 auf 0, obwohl sie in Wahrheit ungleich 0 ist (λx-Regler). Der Misfit konzentriert sich auf die 7 Kovarianzen zwischen S1 und den übrigen Items — ein klassisches Beispiel für eine durch Modifikationsindizes auffindbare Fehlspezifikation.

Warum ein eigener Optimierer?

Für ein fehlspezifiziertes Modell gibt es keine geschlossene Formel für die beste Anpassung — sie muss numerisch gesucht werden, genau wie es lavaan mit echten Daten tut. Dieses Tool implementiert dafür einen kompakten Koordinatenabstieg mit Liniensuche über alle freien Parameter (Ladungen, Fehlervarianzen, ggf. Faktorkorrelation/Kreuzladung). Bei korrekt spezifiziertem Modell konvergiert er nachweislich exakt auf die wahren Werte zurück.

Literatur

Hu, L. & Bentler, P. M. (1999). Cutoff criteria for fit indices. Structural Equation Modeling, 6, 1–55.
McNeish, D. & Wolf, M. G. (2023). Dynamic fit index cutoffs for confirmatory factor analysis models. Psychological Methods, 28(1), 61–88.
Marsh, H. W., Hau, K.-T. & Wen, Z. (2004). In search of golden rules: Comment on hypothesis-testing approaches to setting cutoff values for fit indexes. Structural Equation Modeling, 11(3), 320–341.
Brown, T. A. (2015). Confirmatory Factor Analysis for Applied Research (2nd ed.). Guilford.
Rosseel, Y. (2012). lavaan: An R Package for Structural Equation Modeling. Journal of Statistical Software, 48(2).
Kline, R. B. (2023). Principles and Practice of Structural Equation Modeling (5. Aufl.). Guilford Press.
Hoyle, R. H. (Hrsg.) (2023). Handbook of Structural Equation Modeling (2. Aufl.). Guilford Press.
Bühner, M. (2021). Einführung in die Test- und Fragebogenkonstruktion (4. Aufl.). Pearson Studium.