Range Restriction — Varianzeinschränkung & Korrelationsattenuation

Macht: zeigt, wie die Selektion auf den Prädiktor X die in der selektierten Gruppe beobachtete Korrelation r systematisch verzerrt — und wie die Thorndike-Formeln den wahren Wert ρ zurückrechnen. Macht NICHT: keine Schätzung aus echten Daten, kein indirekter Fall mit gemessener Drittvariable (nur Demonstration des Mechanismus unter bivariater Normalität).

Wenn eine Stichprobe nur einen Teil des Wertebereichs von X abdeckt (weil z. B. nur Bewerber oberhalb eines Test-Cutoffs eingestellt werden), schrumpft die Streuung von X. Die Korrelation zwischen X und Y wird dadurch unterschätzt — obwohl der wahre Zusammenhang in der Gesamtpopulation viel stärker ist. Das ist direkte Range Restriction (Thorndike Fall II).

Ein Unternehmen validiert einen Eignungstest X gegen den späteren Berufserfolg Y. Aber: nur wer im Test über dem Cutoff liegt, wird eingestellt — nur für diese Personen liegt später ein Y-Wert vor. Die so beobachtete Validität r ist kleiner als die wahre Validität ρ. Wer die Range Restriction ignoriert, hält einen guten Test fälschlich für unbrauchbar.

Korrelation = standardisierte Kovarianz. Die Selektion auf X kappt die Streuung von X (s_x sinkt), während die Reststreuung von Y um die Regressionsgerade gleich bleibt. Dadurch macht die systematische Variation einen kleineren Anteil an der Gesamtvarianz von Y aus → r sinkt. Schlüsselgröße ist u = s'x / sx (Streuung selektiert ÷ Streuung gesamt).

Unter direkter Selektion auf X bleibt die Regressionssteigung b_Y·X theoretisch unverändert — nur die Korrelation (und R²) sinken. Im rechten Plot hat die rote Gerade praktisch dieselbe Steigung wie die blaue Populationsgerade; die Punkte streuen nur über einen schmaleren X-Bereich. Korrelation ≠ Steigung.

Oben links: Gesamtpopulation. Graue Punkte = nicht selektiert, rote = selektiert. Die orange Linie ist der Selektions-Cutoff auf X; der schraffierte Bereich fällt weg. Oben rechts: nur die selektierte Gruppe — der schmalere X-Bereich ist sofort sichtbar. Rote Gerade = Regression in der Selektion, blau gestrichelt = Populationsgerade (gleiche Steigung!). Die Streuungsbalken unter den Plots zeigen ±1 s_x.

Untere Kurve: die Thorndike-Beziehung r(u). Sie zeigt für die aktuelle wahre Korrelation ρ, wie die beobachtete Korrelation vom Streuungsverhältnis u abhängt. Bei u = 1 (keine Einschränkung) ist r = ρ. Links davon (u < 1, Einschränkung) sinkt r; rechts (u > 1, Erweiterung durch Extremgruppen) steigt r. Der Punkt markiert deinen aktuellen Zustand.

Selektionsmodus: Oben (klassische Auslese über Cutoff) · Extremgruppen (oberste + unterste — erhöht r!) · Mitte (mittlerer Bereich). Selektionsanteil: welcher %-Anteil bleibt. ρ: wahre Populationskorrelation. Thorndike-Korrektur: rechnet aus r_selektiert und u den korrigierten Wert zurück — er sollte ρ treffen.

ρ (rho) — wahre Korrelation in der Gesamtpopulation, also die echte Validität des Tests.
r — die in der selektierten Gruppe beobachtete Korrelation (das, was man real misst).
sx — Streuung (Standardabweichung) von X in der Gesamtpopulation.
s′x — Streuung von X in der selektierten Gruppe (der Strich ′ steht für „eingeschränkt").
u = s′x / sx — das Streuungsverhältnis: wie viel der ursprünglichen Streuung übrig ist. u = 1 heißt keine Einschränkung, u < 1 Einschränkung, u > 1 Erweiterung (Extremgruppen).
U = 1/u = sx / s′x — einfach der Kehrwert von u; er taucht nur auf, weil die Korrekturformel „von eingeschränkt nach gesamt" rechnet (≥ 1 bei Einschränkung).
b — die Regressionssteigung von Y auf X; sie bleibt bei direkter Selektion auf X unverzerrt.
ρ (rho-Dach) — die Thorndike-korrigierte Schätzung von ρ. Das Dach „^" markiert in der Statistik immer einen geschätzten/berechneten Wert.

Attenuation: r = ρu / √(1 − ρ²(1 − u²))  ·  Korrektur: ρ = rU / √(1 + r²(U² − 1)) mit U = 1/u = sx/s′x.