🚌 Worum geht's
Ein Bus fährt im Schnitt alle 10 Minuten — mal nach 4, mal nach 18 Minuten. Der Betreiber sagt
stolz: „mittlerer Abstand 10 min, mittlere Wartezeit also 5 min." Du als Fahrgast kommst aber zu einer
zufälligen Zeit an die Haltestelle und wartest gefühlt immer länger. Wer hat recht — der
Betreiber oder du?
Deine Vorhersage: Die Lücke, in der du landest, ist im Schnitt …
🔒 Erst tippen, dann aufdecken — wähle oben eine Vorhersage, um Verdict, Kennzahlen und das Häufigkeitsdiagramm zu sehen.
① Der Fahrplan als Zeitstrahl — wo landen die Ankünfte?
Senkrechte Striche = Busse, Bänder dazwischen = Lücken (länger = breiter). Dreiecke = deine zufälligen Ankünfte; die zuletzt getroffene Lücke ist hervorgehoben.
—
② Jetzt selbst ausprobieren — zufällig ankommen
Komm mehrfach zu einem zufälligen Zeitpunkt an der Haltestelle an und beobachte, wie sich „Dein Schnitt" mit jedem Wurf dem wahren Erwartungswert annähert.
Noch keine Ankunft. Komm zu einer zufälligen Zeit an die Haltestelle — in welcher Lücke landest du?
Soll-Abstand E[L]
(Betreiber)
(Betreiber)
—
Ø aller Lücken
Erlebter Abstand
(Fahrgast)
(Fahrgast)
—
E[L²]/E[L]
Wartezeit naiv
—
E[L]/2
Wartezeit echt
—
E[L²]/(2·E[L])
③ Verteilung der Lücken: gezählt vs. erlebt
Blau = jede Lücke zählt einmal (Betreibersicht). Orange = jede Lücke nach ihrer Länge gewichtet (Fahrgastsicht) — dieselben Lücken, aber nach rechts verschoben. Senkrechte Linien = die beiden Mittelwerte.
Konzepte
① Die Symbole — was steht wofür?
In den Formeln unten kommen immer dieselben paar Größen vor. L₁, L₂, … Lₙ sind
die einzelnen Lücken zwischen den Bussen (n Stück). T = L₁+L₂+…+Lₙ ist die gesamte Fahrplan-Zeit.
E[L] ist der ganz normale Mittelwert aller Lücken — das, was der Betreiber „Soll-Abstand" nennt.
E[L²] ist der Mittelwert der quadrierten Lücken — er taucht gleich auf, weil lange Lücken
dabei überproportional stark ins Gewicht fallen. Var(L) = E[L²] − E[L]² misst, wie stark die
Lücken streuen. Mehr braucht es nicht — alles unten baut nur auf diesen vier Größen auf.
② Welche Lücke triffst du überhaupt?
Du kommst zu einem zufälligen Zeitpunkt zwischen 0 und T an — nicht zu einer zufälligen
Lücken-Nummer. Eine Lücke der Länge L nimmt den Anteil L/T der gesamten Fahrplanzeit ein, also gilt:
P(du landest in dieser Lücke) = L/T
Eine 12-Minuten-Lücke wird dadurch sechsmal so oft getroffen wie eine 2-Minuten-Lücke — obwohl der Betreiber beide
beim Berechnen seines Mittelwerts völlig gleich zählt (jede einmal).③ Wo in der Lücke landest du?
Angenommen, du bist in einer Lücke der Länge L gelandet — wo genau darin, ist
gleichverteilt. Mal stehst du ganz am Anfang (fast die volle Lücke Wartezeit), mal kurz vor dem nächsten Bus (fast
keine). Über viele Ankünfte in gleich lange Lücken gemittelt, liegt die Restwartezeit im Schnitt bei L/2.
Landest du z. B. bei Minute 8 von 12, wartest du nur 4 Minuten — das widerspricht L/2 = 6 nicht, es ist einfach ein
einzelner Wurf aus genau dieser Streuung.
④ Beide Effekte kombiniert — die Formel
Die Wartezeit gewichtet jede Lücke mit ihrer Trefferwahrscheinlichkeit aus ② und multipliziert
mit der mittleren Restwartezeit aus ③:
E[Wartezeit] = Σᵢ (Lᵢ/T) · (Lᵢ/2) = E[L²] / (2·E[L])
Genauso entsteht die „erlebte Lücke" — statt wie der Betreiber jede Lücke mit 1 zu gewichten, gewichtet man sie mit
ihrer eigenen Länge:
E[erlebte Lücke] = Σᵢ Lᵢ·(Lᵢ/T) = E[L²]/E[L] = E[L] + Var(L)/E[L]
Die letzte Umformung zeigt direkt: ohne Streuung (Var = 0) verschwindet der ganze Effekt.⑤ Mehr Streuung ⇒ größerer Effekt
Der Aufschlag in der Formel oben ist genau Var(L)/E[L]. Bei exaktem Takt
(Var = 0) gibt es also kein Paradox. Bei rein zufälligen (Poisson-)Ankünften ist Var = E[L]² — dann ist die erlebte
Lücke doppelt so lang wie E[L], und die Wartezeit entspricht dem ganzen mittleren Abstand
statt der Hälfte.
⑥ Durchgerechnetes Beispiel
Vier Lücken: 2, 4, 6, 12 Minuten (Summe T = 24, Betreiber-Mittelwert E[L] = 6 min).
Der Betreiber zählt jede Lücke gleich (Spalte „Anteil an n"). Du triffst sie aber ∝ Länge (Spalte „Trefferw.") — die
12-min-Lücke also in der Hälfte aller Fälle, obwohl sie nur 1 von 4 Lücken ist. Erlebte Lücke:
E[L²]/E[L] = (4+16+36+144)/4 / 6 = 50/6 ≈ 8,3 min. Echte Wartezeit: E[L²]/(2·E[L]) = 50/12 ≈
4,2 min statt naiv 3 min — nicht weil du in der 12-min-Lücke immer bis zum Schluss wartest (dort
sind es im Schnitt auch nur 6 min), sondern weil du so oft überhaupt dort landest.
| Lücke L | Anteil an n | Trefferw. L/T | Ø Rest L/2 |
|---|---|---|---|
| 2 min | 25 % | 8 % | 1 min |
| 4 min | 25 % | 17 % | 2 min |
| 6 min | 25 % | 25 % | 3 min |
| 12 min | 25 % | 50 % | 6 min |
Verwandte Phänomene & Tools
Dieselbe Mathematik taucht überall auf, wo man Zustände proportional zu ihrer Dauer oder Größe
beobachtet, statt sie einzeln gleich zu zählen: das Klassengrößen-Paradox (Studierende erleben im
Schnitt größere Kurse als die Uni meldet — weil mehr Studierende in großen Kursen sitzen), ausgelastet wirkende
Server, Restaurants oder Autobahnen, und Length-biased Sampling in Überlebens-/Screening-Studien
(zu einem Stichtag „anwesende" Fälle haben überlange Verläufe — korrigierbar durch Gewichtung mit 1/L, wenn man den
Bias kennt). Eng verwandt: der Friendship Paradox — dieselbe Formel E[k²]/E[k], nur für
Netzwerk-Kontakte statt Zeitintervalle.
→ Friendship Paradox
→ Survivorship Bias