Power & Stichprobengröße

Power ist die Chance, einen echten Effekt zu entdecken — und sie hängt davon ab, wie groß der Effekt wirklich ist.

Worum geht es hier?

Eine Studie mit „80 % Power“ entdeckt einen echten Effekt in 8 von 10 Fällen — aber nur für eine ganz bestimmte Effektgröße. Ist der wahre Effekt kleiner, sinkt die Chance; ist er null, entspricht sie nur noch dem Fehlalarm-Niveau α. Die Power hängt von Effektgröße, Stichprobengröße, Signifikanzniveau und Testrichtung ab. Deshalb ist sie eine Kurve, keine einzelne Zahl. Das Beispiel im Tool: Eine klinische Studie zu einem Antidepressivum rechnet mit d = 0,50 aus der Literatur und n = 64 pro Gruppe (80 % Power) — eine Pilotstudie deutet aber nur auf d ≈ 0,30 hin.

So gehst du vor

Zuerst die Regler links: Signifikanzniveau α, Testrichtung (zwei- oder einseitig), Design (1 oder 2 Gruppen), n, geplante Effektgröße d und Ziel-Power.
1. Power ist eine Kurve — nicht ein Wert — sieh, wie sich die Power-Kurve mit n verschiebt, und wie sich H₀- und H₁-Verteilung überlappen.
2. Die Power-Landschaft — n × d × Power als Heatmap: Wo liegt der Bereich mit ausreichender Power?
3. Was, wenn das wahre δ kleiner ist? — Sensitivitätsanalyse: die Power bei deinem n für jedes mögliche wahre d.

Worauf achten?

Power gilt nur für die angenommene Effektgröße. Wird sie aus Literatur oder Pilotstudie zu optimistisch geschätzt, ist die tatsächliche Power oft deutlich geringer als geplant.
Kleine Effekte brauchen überproportional viele Personen: Ein halb so großer Effekt erfordert für dieselbe Power etwa viermal so viele.
Bei einem wahren Effekt von null bleibt als „Power“ nur die Fehlalarmrate α übrig.

Zum Ausprobieren

Setze d von 0,50 auf 0,30 und beobachte, wie die Power bei n = 64 einbricht. Erhöhe dann n, bis die Ziel-Power wieder erreicht ist, und prüfe in der Heatmap, wie groß der Aufwand wird.

Und danach?

Power und fehlende Daten bestimmen zusammen, wie viele vollständige, auswertbare Beobachtungen am Ende wirklich vorliegen — Missing Data zeigt die zweite Hälfte dieser Rechnung.

📋 Beispiel — Klinische Studie Antidepressivum Forscher plant Studie: erwartet d = 0.50 (Literatur), n = 64 pro Gruppe → geplante Power: 80%. Pilotstudie deutet auf d ≈ 0.30 hin — Sektion 3 zeigt, was das bedeutet.

① Power ist eine Kurve — nicht ein Wert

Power(d) — Kurve & Kurvenschar

H₀- und H₁-Verteilung

② Die Power-Landschaft — n × d × Power

Heatmap: Power als Funktion von n und Cohen's d

③ Was, wenn das wahre δ kleiner ist als angenommen?

Sensitivitätsanalyse — Power bei n = 64 für jedes mögliche wahre d

Was dieser Plot zeigt Wird geladen…

Lernkarten

Power ist eine Funktion

Für jedes denkbare wahre δ gibt es eine andere Power. Die häufig zitierte „80%-Power" gilt nur für genau ein einziges angenommenes δ — und dieses kennt man vor der Studie nie sicher.

α und Power sind gegenläufig

Strengeres α (z. B. 0.01 statt 0.05) senkt bei gleichem n und δ die Power — man macht es schwerer, H₀ abzulehnen, und verpasst damit auch mehr echte Effekte.

Cohen: Daumenregeln, keine Gesetze

Cohen (1988) leitete d = 0.2/0.5/0.8 aus verhaltenwiss. Studien seiner Zeit ab — als Notlösung ohne Domänenwissen. In der Medizin kann d = 0.1 klinisch bedeutsam sein; in der Grundlagenforschung kann d = 0.8 trivial sein. Die relevante ES ist immer kontextspezifisch.

MDES aus inhaltlichem Kontext

Das MDES (Minimum Detectable Effect Size) sollte aus klinischer/praktischer Relevanz kommen, nicht aus statistischen Konventionen. Frage: „Welcher Effekt wäre klein genug, um ihn zu ignorieren?"

Post-hoc Power ist irreführend

Power nach einer nicht-signifikanten Studie mit dem beobachteten d zu berechnen ist zirkulär: sie spiegelt nur den p-Wert zurück und sagt nichts über die ursprüngliche Planung aus. Verwende nur a-priori Power (vor der Studie).

Power & Stichprobengröße — Hilfe

Beispiel

Ein Kliniker plant eine RCT zu einem Antidepressivum. Aus der Literatur erwartet er Cohen's d = 0.50 auf der HAM-D-Skala. Mit n = 64 pro Gruppe und α = 0.05 (zweiseitig) ergibt sich eine geplante Power von ca. 80%. Eine Pilotstudie deutet jedoch auf d ≈ 0.30 hin — Sektion 3 zeigt, was das für die tatsächliche Power bedeutet.

Was ist statistische Power?

Power (1−β) ist die Wahrscheinlichkeit, einen wahren Effekt zu entdecken — also H₀ korrekt abzulehnen, wenn H₁ gilt. Power hängt von vier Größen ab: Effektgröße δ, Stichprobengröße n, Signifikanzniveau α und Testrichtung.

Power = P(H₀ ablehnen | H₁ wahr) = 1 − β

Warum ist Power eine Kurve?

Für jedes mögliche wahre δ ergibt sich eine andere Power. Bei δ = 0 entspricht Power dem α-Niveau (falsch-positiv). Mit wachsendem δ steigt Power gegen 1. Sektion 1 zeigt diese Kurve — und wie sie sich mit n verschiebt. Die oft zitierte „80%-Power" gilt immer nur für ein bestimmtes δ.

Normalapproximation der Power

Power ≈ Φ(|d| · √(n/2) − z_{α/2}) [zweiseitig, 2 Gruppen] Power ≈ Φ(|d| · √n − z_{α/2}) [zweiseitig, 1 Gruppe]

Φ = Standardnormalverteilung (kumulativ), z_{α/2} = Quantil für α/2. Die Näherung ist für n ≥ 20 sehr präzise.

Cohen's d und seine Grenzen

Standardisierte Effektgröße: d = (μ₁ − μ₂) / σ. Die Konventionen klein/mittel/groß (0.2/0.5/0.8) sind historische Daumenregeln aus der Verhaltensforschung der 1960er–70er Jahre — keine universellen Standards. Cohen selbst warnte vor unreflektierter Übernahme. In der Medizin kann d = 0.1 klinisch bedeutsam sein (Blutdrucksenkung × Millionen Patienten); in der Grundlagenforschung kann d = 0.8 trivial sein.

SESOI — Wie bestimmt man die relevante Effektgröße?

Das Kernproblem der Stichprobenplanung ist nicht das Rechnen — es ist die inhaltliche Frage: Welchen Effekt möchte ich zuverlässig entdecken? Lakens (2022) schlägt vor, die Planung am SESOI auszurichten — dem Smallest Effect Size of Interest: dem kleinsten Effekt, der noch praktisch oder klinisch bedeutsam wäre.

Das SESOI ist grundlegend verschieden von der Frage „Was haben frühere Studien gefunden?" — denn publizierte Effektgrößen sind durch Selektionsbias und Publikationsbias systematisch überschätzt (Winner's Curse). Wer seine Planung auf dem mittleren publizierten d aufbaut, riskiert eine überhöhte Effekterwartung und damit chronische Unterpowerung.

Vier Wege zur SESOI-Bestimmung:

1. Klinischer/praktischer Anker (empfohlen): Welcher Effekt würde eine Entscheidung ändern — z. B. Behandlungsleitlinien, Zulassung, Kostenerstattung? In der Medizin gibt es für viele Skalen bereits empirisch bestimmte Mindestschwellen (MCID, Minimal Clinically Important Difference). Beispiel: Auf dem HAM-D gilt eine Reduktion von ≥ 3 Punkten als klinisch bedeutsam — das entspricht einem bestimmten d.

2. Ressourcen-basierte Rechtfertigung: Arbeite rückwärts: Welche n sind realistisch erreichbar? Welches MDES ergibt sich daraus bei 80% Power? Ist dieser MDES inhaltlich noch relevant — oder so groß, dass nur große, unplausible Effekte entdeckt würden?

3. Untere Schranke aus der Theorie: Was sagt die Theorie über die Mindestgröße des Effekts? Wenn ein Mechanismus postuliert wird, kann man oft argumentieren, unterhalb welcher Schwelle er praktisch nicht existiert.

4. Vorherige Literatur — mit Vorsicht: Metaanalytische Schätzungen aus vorselektierten Stichproben überschätzen den wahren Effekt. Besser: Unkorrigierte Rohdaten aus Registerstudien oder präregistrierten Replikationen. Wenn nur publizierte Effekte verfügbar sind, setze den Planungswert deutlich konservativer an (z. B. 50–70% des publizierten d).

SESOI und MDES verbinden: Nachdem das SESOI inhaltlich bestimmt ist, liefert Sektion 3 dieses Tools die Antwort: Ist mein geplantes n groß genug, um das SESOI zuverlässig zu entdecken (MDES ≤ SESOI)? Falls nicht, muss n erhöht oder das Design geändert werden.

Literatur: Lakens, D. (2022). Sample size justification. Collabra: Psychology, 8(1), 33267. doi:10.1525/collabra.33267 — Open Access, enthält R-Code und interaktive Beispiele. · Cohen, J. (1988). Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences (2nd ed.). Erlbaum.

Begriffe

α (Typ-I-Fehler): Wahrscheinlichkeit, H₀ fälschlicherweise abzulehnen.
β (Typ-II-Fehler): Wahrscheinlichkeit, einen echten Effekt zu verpassen. Power = 1−β.
NCP (Non-centrality parameter): δ · √(n/2) — gibt an, wie weit H₁ von H₀ entfernt ist (in SD-Einheiten der Teststatistik).
MDES (Minimum Detectable Effect Size): Kleinster Effekt, der mit gegebenen n und α bei Ziel-Power entdeckt werden kann. Aus Sektion 3 ablesbar.
SESOI (Smallest Effect Size of Interest): Der kleinste Effekt, der inhaltlich noch praktisch oder klinisch relevant wäre. Die Planung sollte so erfolgen, dass MDES ≤ SESOI.
Post-hoc Power: Power berechnet nach der Studie mit dem beobachteten d — zirkulär und uninformativ, weil sie nur den p-Wert zurückspiegelt.

Power & Stichprobengröße — Warum Power eine Kurve ist