Gesetz der kleinen Zahlen — warum die „Rekord-Gemeinden" winzig sind

Eine Quote (hier: Anteil Linkshänder) ist in allen Gemeinden gleich groß — sagen wir 10 %. Der gemessene Anteil schwankt aber zufällig von Gemeinde zu Gemeinde. Die entscheidende Frage: Welche Gemeinden haben die höchste und die niedrigste Quote? Antwort: fast immer die kleinen — und zwar an beiden Enden.

Der Standardfehler eines Anteils sinkt mit der Wurzel der Stichprobengröße:

Kleine Gemeinden (kleines n) haben einen großen SE → ihre Messwerte streuen weit um die wahre Quote. Große Gemeinden liegen fast exakt bei p. Deshalb stammen sowohl die Spitzenreiter als auch die Schlusslichter aus den kleinen Gemeinden — nicht weil dort etwas Besonderes passiert, sondern weil kleine Stichproben stärker schwanken.

Quote (y) gegen Einwohnerzahl (x, logarithmisch). Der „Trichter" sind die ±2-SE-Grenzen: links (kleine Gemeinden) weit, rechts (große Gemeinden) eng. Die Punkte füllen den Trichter aus — die extremsten liegen ganz links. Genau diese Form heißt Funnel-Plot und dient auch zur Aufdeckung von Publikationsbias.

In US-Daten haben die Bezirke mit der niedrigsten Nierenkrebsrate eines gemeinsam: sie sind ländlich und dünn besiedelt. Verblüffung — bis man sieht, dass die Bezirke mit der höchsten Rate genauso klein sind. Reine Stichprobenstreuung, kein Landluft-Effekt.

Ranglisten von Raten ohne Berücksichtigung von n sind irreführend. Lösung: Funnel-Plot statt nackter Rangliste, Shrinkage (Werte kleiner Einheiten Richtung Gesamtmittel ziehen, → Regression zur Mitte), oder Bayes/Multilevel-Modelle mit partial pooling.

Tversky, A. & Kahneman, D. (1971). Belief in the law of small numbers. Psychological Bulletin, 76(2), 105–110. · Kahneman, D. (2011). Schnelles Denken, langsames Denken, Kap. 10.